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fx-3650P誤差修正問題

大家都知道計數機的運算存有誤差,所以計數機 (SVPAM或DAL)都加入針對加減數運算答案應該為零的自動修正功能,不過有部份較舊版本的 fx-3650P完全欠缺了這種功能,對於某些計算或程式的使用會有多一點潛在的問題。最典型的例子是使用一元二次公式計算一元二次方程的重根問題(特別是係數為循環小數或無理數),由於誤差原因,判別 式的值不是0,而變成一個很小的負數,最後結果是使算式或程式出現錯誤 (Math error),使用者很多時就會誤以為方程為無解,導致最後答案出錯。

 

這種自動修正功能對於新式 (SVPAM或DAL) 計數機較為重要,因為這類計數機將整個算式輸入後,才執行算式,計算的過程會被隱藏,因此較容易出現問題,所以這類操作方法的計數機都加入這種修正功能。若果你使用的是舊版的 fx-3650P,計算或使用程式時就要較小心會否出現上述的問題。

 

那麼如何可以知道有沒有這種修正功能呢?方法很簡單只要執行下列簡單的測試即可:

按 1 ÷ 7 + 6 EXE Ans - 6 - 1 ÷ 7 EXE ,若果答案不是零表示 完全沒有這種修正功能,亦即是早期舊版本的fx-3650P計算機。

註: 舊款casio 計數機完全沒有這種修正功能 (e.g. fx-50F),計算上述的測試答案不是零。

 

fx-3650P加減自動修正功能的缺陷 (現有較新版本的fx-3650P及MS系列計算機)

雖然較新版的fx-3650P已補加回上述的自動修正功能,不過這個功能卻出現了設計上的缺陷,我猜測可能fx-3650P原先設計並沒有這種功能,後來補加會較為困難,最後 就出現缺陷的問題,最典型例子是一些有關指數的計算 2^62 - 4^31 ,理論上答案應為0,但fx-3650P卻得答案為4000 0000,當然相對於2^61及4^31的數值,其實4000 0000是一個很少的值,但為何其它計算機(e.g. SHARP EL-506V)會得出正確答案0,很多網友都誤以為是由於指數(次方)計算不準確,但其實這個不是主要原因,其它非指數計算一樣存在問題,大家可以看看以下的幾個計算例子,理論上答案都 是0,但fx-3650P卻得出錯誤的答案。

例子 fx-3650P答案 SC-185答案 EL-506V答案
2^62 - 4^31 4000 0000 0 0
1E20 - (1E20)÷3 - (1E20)÷3 - (1E20)÷3 1000 00000 0 0
√(8E30) - 2√(2E30) 10000 0 0
1E15 - 1E15(cos 10)2 - 1E15(sin 10)2 -100 0 0

註1: 上述 sin 及 cos 計算是在DEG設定下執行,而E是按 EXP。

其實計算機的位數是有限(fx-3650P內部有12位),很多時都是以近似值,不是真確值,特別是無理數及循環小數,更加一定是近似值,使用近似值計算出現輕微的誤差是很正常的事,EL-506V及SC-185計算機同樣存在這種誤差,或者我用上述的第一個例子作詳細一點的說明:

以下紅色的數字為內部隱藏的數值。

fx-3650P 情況 (較新版fx-3650P及MS系列計算機)

2^62 = 4.61168601839 × 1018

4^31 = 4.61168601835 × 1018

2^62 - 4^31 =  4.61168601839 × 1018 - 4.61168601835 × 1018 = 4000 0000

很明顯相減的兩數只是最後第十二個位相差4,但由於沒有進行修正,所以2^62 - 4^31的答案為4000 0000。

EL-506V情況:

2^62 = 4.61168601836 × 1018

4^31 = 4.61168601840 × 1018

2^62 - 4^31 =  4.61168601836 × 1018 - 4.61168601840 × 1018 = - 4000 0000

EL-506V同樣在第十二個位相差4,但由於有進行修正,所以2^62 - 4^31的答案最後變為0

 

較新版的fx-3650P其實有相關修正功能,為何會出現問題呢?大家再參考以下的兩個fx-3650P的情況:

情況一: (有進行修正)

√8 - 2√2 ,fx-3650P能正確計出答案0。

√8 = 2.82842712475

2√2 = 2.82842712474

√8 - 2√2 = 2.82842712475 - 2.82842712474 = 1×10-11

理論上最後答應不是0,但由於有進行修正,最後答案變為0

情況二: (沒有進行修正,E是按EXP)

√(8E30) - 2√(2E30),fx-3650P計算錯誤答案10000

√(8E30) = 2.82842712475 × 1015

2√(2E30) = 2.82842712474 × 1015

√(8E30) - 2√(2E30) = 2.82842712475 × 1015 - 2.82842712474 × 1015 = 10000

最後答案為10000,亦即沒有進行誤差修正。

情況一及情況二的計算很相似,最後的減數運算,除了大小(1015)外,計算加減的數字亦相同,但情況二卻沒有進行修正,經過很多測試及研究,發現兩數進行加減時,兩數的絶對值若果大於 1012,fx-3650P的自動修正的功能將會消失,亦即是完全沒有進行修正,所以進行一些絶對值很大的數值加減時(e.g. 2^62-4^31),就不能修正為0,因此較容易出現誤差,亦即是說fx-3650P自動修正為0的功能出現缺陷,幸運地問題發生在很大的數值(絶對值大於1012),一般中學的數學計算較少計算這麼大的數值,所以相信這問題的影響較少。

 

自動修正為零的利與弊:

修正功能本身其實亦有一定的限制,對於誤差較大的問題,亦無能為力,不同型號的計算機自動修正功能的方法亦有不同,修正最大誤差的範圍亦不同,

例如: 100÷3 - 33 - 1÷3 這個算式,fx-3650P(新版本)以不能成功修正為0,而得出錯誤的答案 -3.3 × 10-11,但Sharp EL-506V卻能得出正確答案 0。不過對誤差更大的算式EL-506V亦無能為力。

例如: 1000÷3 - 333 - 1÷3,EL-506V亦出現錯誤答案 -3.33 × 10-11

大家可能會覺得Sharp EL-506V會較好,但其實針無兩頭利,較大程度的修正同樣會產生新的問題,看看以下的例子:

按 π + 1E-10 - π (亦即是計算 π + 1×10-10 - π),正確答案應為1×10-10,但EL-506V卻因為修正功能的關係得出錯誤的答案0,相反修正程度較少的fx-3650P卻得出正確答案1×10-10。 所以從專業的角度看,fx-3650P這方面並非一定較差。誤差修正的技術對計算機(特別是較新的SVPAM或DAL)肯定是重要,已是不爭的事實,現時CASIO較新型號的科學計算機都加入了(例如: fx-50F PLUS及ES系列計算機),並且沒有好像fx-3650P修正方面的問題,但對於修正程度方面,即修正多少才能獲得最佳的效果,就沒有一個定論。

 

各位網友若對上述內容有任何意見、補充或疑問,歡迎到WebCal論壇留言討論。

 

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